Question

6．已知△ABC的頂點A（5，1），AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0．
求①頂點C的坐標；
②直線BC的方程；
③過A、C兩點且圓心在直線y=x上的圓的方程．

Answer 1

分析 ①令直線AC邊所在的直線斜率為k，則$\frac{1}{2}k$=-1，從而直線AC的方程為2x+y-11=0．解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，能求出頂點C的坐標．
②設點B的坐標為（x₀，y₀），且點B與點A關(guān)于直線2x-y-5=0對稱，又點B在直線BH上，能求出x₀=-1，y₀=-3，由兩點式，得直線BC的方程．
③設過A、C兩點且圓心在直線y=x上的圓的圓心為（a，a），由此能求出圓的方程．

解答 解：①令直線AC邊所在的直線斜率為k，
∵AC邊上的高BH所在直線方程為x-2y-5=0，
∴$\frac{1}{2}k$=-1，解得k=-2，
∴直線AC的方程為：y-1=-2（x-5），即，2x+y-11=0．
∵AB邊上的中線CM所在直線方程為2x-y-5=0，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-11=0}\\{2x-y-5=0}\end{array}\right.$，得x=4，y=3，
∴頂點C的坐標為（4，3）．
②設點B的坐標為（x₀，y₀），且點B與點A關(guān)于直線2x-y-5=0對稱，
∴$2•\frac{{x}_{0}+5}{2}-\frac{{y}_{0}+1}{2}-5=0$，
又點B在直線BH上，
∴x₀-2y₀-5=0，
∴x₀=-1，y₀=-3，
所以，由兩點式，得直線BC的方程為：$\frac{y+3}{x+1}=\frac{3+3}{4+1}$，
整理，得6x-5y-9=0．
③設過A、C兩點且圓心在直線y=x上的圓的圓心為（a，a），
∵A（5，1），C（4，3），
∴$\sqrt{（a-5）^{2}+（a-1）^{2}}=\sqrt{（a-4）^{2}+（a-3）^{2}}$，
解得$a=-\frac{1}{2}$，
∴圓的半徑r=$\sqrt{（-\frac{1}{2}-5）^{2}+（-\frac{1}{2}-1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{130}}{2}$，
∴圓的方程為$（x+\frac{1}{2}）^{2}+（y+\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{65}{2}$．

點評 本題考查頂點坐標的求法，考查直線方程的求法，考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點斜式方程、直線對稱、圓的方程等知識點的合理運用．