Question

已知兩點(diǎn)，直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且這兩條直線的斜率之積為.
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，直線PE、PF與圓（）相切于點(diǎn)E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點(diǎn)分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

Answer 1

（Ⅰ）（）；（Ⅱ） .

解析試題分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 則, ,化簡(jiǎn)可得軌跡方程.
（Ⅱ）設(shè)出直線PE、PF的點(diǎn)斜式方程,分別求出它們與圓（）相切條件下與曲線C的另一交個(gè)交點(diǎn)Q、R.的坐標(biāo),寫出直線的方程,點(diǎn)到直線的距離公式可求的底邊上的高.進(jìn)而得出面積的表達(dá)式,再探索用基本不等式求該式最值的方法.
試題解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，      2分
整理得點(diǎn)M所在的曲線C的方程：（）          3分

（Ⅱ）由題意可得點(diǎn)P（）             4分
因?yàn)閳A的圓心為（1，0），
所以直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)
----------5分
設(shè)直線PE的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立消去，得：
，         6分
由于1是方程的一個(gè)解，
所以方程的另一解為            7分
同理                 8分
故直線RQ的斜率為
=     9分
把直線RQ的方程代入橢圓方程，消去整理得
所以         10分
原點(diǎn)O到直線RQ的距離為               11分
.    12分
考點(diǎn)：1、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法；2、直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系；3、基本不等式的應(yīng)用.