Question

坐標(biāo)系與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系中，已知圓心C(3，

π

6

)，半徑r=1．
（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

(t為參數(shù))與圓交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）由圓心C(3，

π

6

)，可得圓心C(3cos

π

6

，3sin

π

6

)，即C(

3 3

2

，

3

2

)，半徑r=1，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）把直線

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

(t為參數(shù))代入圓的方程化為：t2-(6+

3

)t+9+3

3

=0．可得根與系數(shù)的關(guān)系．利用|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答：解：（1）由圓心C(3，

π

6

)，可得圓心C(3cos

π

6

，3sin

π

6

)，即C(

3 3

2

，

3

2

)，半徑r=1，
∴圓的方程為(x-

3 3

2

)2+(y-

3

2

)2=1．
即x2+y2-3

3

x-3y+8=0．
（2）直線

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

(t為參數(shù))與x軸相交于點(diǎn)P（-1，0）．
把此方程代入圓的方程化為：t2-(6+

3

)t+9+3

3

=0．
∴t1+t2=6+

3

，t1t2=9+3

3

．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

(6+ 3 )2-4(9+3 3 )

=

3

．
∴|AB|=

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、利用參數(shù)方程解決弦長問題，屬于中檔題．