Question

4．某班級舉行一次“科普知識”競賽活動，活動分為初賽和決賽兩個階段．現(xiàn)將初賽答卷成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計，制成如下頻率分布表：

分 組（分?jǐn)?shù)段）	頻 數(shù)（人 數(shù)）	頻            率
[60，70）	8
[70，80）		0.44
[80，90）	14	0.28
[90，100
合    計	50	1

（Ⅰ）填寫頻率分布表中的空格；
（Ⅱ）決賽規(guī)則如下：參加決賽的每位同學(xué)從給定的5道小題中依次口答，答對3道題就終止答題并獲一等獎；如果前3道題都答錯就不再答第4、5題而被淘汰．某同學(xué)進(jìn)入決賽，每道題答對的概率均為0.5．
①求該同學(xué)恰好答滿5道題并獲一等獎的概率；
②記該同學(xué)決賽中答題的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，能完成頻率分布表．
（Ⅱ）①該同學(xué)答滿5道題并獲一等獎，即前4道題回答結(jié)果對錯，而第5道題答對，由此能求出該同學(xué)恰好答滿5道題并獲一等獎的概率．
②該同學(xué)答題的個數(shù)可能為3、4、5，即X的可能取值為3、4、5，分另求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由頻率=$\frac{頻數(shù)}{總數(shù)}$，得頻率分布表為：

分 組（分?jǐn)?shù)段）	頻 數(shù)（人 數(shù)）	頻            率
[60，70）	8	0.16
[70，80）	22	0.44
[80，90）	14	0.28
[90，100[來源：．Com	6	0.12
合    計	50	1

（4分）
（Ⅱ）①該同學(xué)答滿5道題并獲一等獎，即前4道題回答結(jié)果對錯，而第5道題答對，
∴該同學(xué)恰好答滿5道題并獲一等獎的概率p=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{16}$．（6分）
②該同學(xué)答題的個數(shù)可能為3、4、5，即X的可能取值為3、4、5，（7分）
X=3時分兩種情況：答完3道題獲獎或答完3道題淘汰，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}$+${C}_{3}^{3}（1-\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{4}$，
X=4時分兩種情況：答完4道題獲獎或答完4道題淘汰，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{2}$+${C}_{3}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，
X=5時分兩種情況：答完5道題獲獎或答完5道題淘汰，
P（X=5）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）$+${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{8}$，（10分）
∴X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$

E（X）=$3×\frac{1}{4}+4×\frac{3}{8}+5×\frac{3}{8}$=$\frac{33}{8}$．（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．