Question

15．某電子廣告牌連續(xù)播出四個廣告，假設(shè)每個廣告所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計，以往播出100次所需的時間（t）的情況如下：

類別	1號廣告	2號廣告	3號廣告	4號廣告
廣告次數(shù)	20	30	40	10
時間t（分鐘/人）	2	3	4	6

每次隨機播出，若將頻率視為概率．
（Ⅰ）求恰好在第6分鐘后開始播出第3號廣告的概率；
（Ⅱ）用X表示至第4分鐘末已完整播出廣告的次數(shù)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）恰好在第6分鐘后開始播出第3號廣告包含四種情況：①1號廣告連播3次，然后播第3號廣告；②2號廣告連播2次，然后播第3號廣告；③1號廣告和3號廣告播完后，播第3號廣告；④4號廣告播完后，播第3號廣告．由此能求出恰好在第6分鐘后開始播出第3號廣告的概率．
（II）由已知得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出x的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)事件A表示“播1號廣告”，事件B表示“播2號廣告”，事件C表示“播3號廣告”，事件D表示“播4號廣告”，
由條件知P（A）=$\frac{20}{100}$=$\frac{2}{10}$，P（B）=$\frac{300}{100}=\frac{3}{10}$，P（C）=$\frac{40}{100}$=$\frac{4}{10}$，P（B）=$\frac{10}{100}$=$\frac{1}{10}$，
恰好在第6分鐘后開始播出第3號廣告包含四種情況：
①1號廣告連播3次，然后播第3號廣告；②2號廣告連播2次，然后播第3號廣告；
③1號廣告和3號廣告播完后，播第3號廣告；④4號廣告播完后，播第3號廣告，
∴恰好在第6分鐘后開始播出第3號廣告的概率：
p=$（\frac{2}{10}）^{3}$×$\frac{4}{10}$+$（\frac{3}{10}）^{2}×\frac{4}{10}$+${C}_{2}^{1}×\frac{2}{10}×\frac{4}{10}×\frac{4}{10}$+$\frac{1}{10}×\frac{4}{10}$=$\frac{179}{1250}$．
（II）由已知得X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{1}{10}$，
P（X=1）=$\frac{4}{10}+{C}_{2}^{1}•\frac{2}{10}•\frac{3}{10}$+$\frac{2}{10}•\frac{4}{10}$+$\frac{3}{10}•\frac{4}{10}$+$\frac{2}{10}•\frac{1}{10}+\frac{3}{10}•\frac{1}{10}$+$\frac{3}{10}•\frac{3}{10}$=$\frac{86}{100}$，
P（X=2）=$\frac{2}{10}•\frac{2}{10}$=$\frac{4}{100}$，

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{86}{100}$	$\frac{4}{100}$

EX=$0×\frac{1}{10}+1×\frac{86}{100}+2×\frac{4}{100}$=0.94．

點評 本題考查概率的求法，考查離散隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．