Question

試證：以O(shè)點(diǎn)為始點(diǎn)的三個(gè)向量a、b、c的終點(diǎn)A、B、C在同一條直線上的充要條件是c=αa+βb(α、β∈R,α+β=1).知識(shí)不會(huì)老化，知識(shí)老化的人，是不學(xué)習(xí)的人.

Answer 1

證明:（1）必要性：

若A、B、C在同一直線上，則存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,所以=λ(),即c-a=λ(b-a).整理得c=(1-λ)a+λb.令α=1-λ,β=λ,則α+β=1,c=αa+βb成立.

（2）充分性：

若c=αa+βb且α+β=1,

則c=αa+(1-α)b.

所以c-b=α(a-b).

所以=α().

所以=α·.所以與共線.

又B點(diǎn)為公共點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)共線.