Question

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且對(duì)一切x>0，y>0都有f（）＝f(x)－f(y)，當(dāng)x>1時(shí)，有f(x)>0.

(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明；

(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．

Answer 1

解：(1)∵當(dāng)x>0，y>0時(shí)，f＝f(x)－f(y)，

∴令x＝y(tǒng)>0，則f(1)＝f(x)－f(x)＝0.

∴f(1) ＝0.

(2)設(shè)x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁<x₂，

則f(x₂)－f(x₁)＝f，

∵x₂>x₁>0.∴>1，

∴f＞0.

∴f(x₂)>f(x₁)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函數(shù)．

∴f (x)_min＝f(1)＝0，f(x)_max＝f(16)，

∵f(4)＝2，由f＝f(x)－f(y)，

知f＝f(16)－f(4)，

∴f(16)＝2f(4)＝4，

∴f(x)在[1,16]上的值域?yàn)閇0,4]．