Question

如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1,0），且過(guò)點(diǎn)（2，0）．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動(dòng)弦，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交于點(diǎn)M．

（）求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；

（）求△AMN面積的最大值．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由題設(shè)a=2,c=1,從而b²=a²-c²=3,所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）（i）由題意得F（1,0）,N（4,0）．

設(shè)A（m, n）,則B（m, -n）（n≠0）,=1． ……（1）

AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0，

n（x-4）-（m-4）y=0．

設(shè)M（x₀,y₀）,則有

由（2），（3）得

x₀=．

所以點(diǎn)M恒在橢圓C上．

（）設(shè)AM的方程為x=ty+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0．

設(shè)A（x₁,y₁）,M（x₂，y₂），則有：y₁+y₂=

|y₁-y₂|=

令3t²+4=λ（λ≥4）,則

|y₁-y₂|＝

因?yàn)棣恕?，0<

|y₁-y₂|有最大值3，此時(shí)AM過(guò)點(diǎn)F．

△AMN的面積S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）同解法一：

（Ⅱ）（）由題意得F（1,0）,N（4,0）．

設(shè)A（m, n）,則B（m,-n）（n≠0）,              ……①

AF與BN的方程分別為：n（x-1）-（m-1）y=0,                  ……②

n（x-4）-（m-4）y=0,                  ……③

由②，③得：當(dāng)≠．          ……④

由④代入①，得=1（y≠0）．

當(dāng)x=時(shí)，由②，③得：

解得與n≠0矛盾．

所以點(diǎn)M的軌跡方程為即點(diǎn)M恒在橢圓C上．

（）同解法一．