Question

定義在R上的函數(shù)，滿足當(dāng)時(shí)，>1，且對任意的，有，.

(1)求的值；

(2)求證：對任意，都有>0；

(3)解不等式

Answer 1

(1)對任意x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)．令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)·f(0)，即f(0)·[f(0)－1]＝0.

令y＝0，得f(x)＝f(x)·f(0)，對任意x∈R成立，所以f(0)≠0，因此f(0)＝1.

(2)證明：對任意x∈R，有f(x)＝f(＋)＝f()·f()＝[f()]²≥0.假設(shè)存在x₀∈R，使f(x₀)＝0，

則對任意x>0，有f(x)＝f[(x－x₀)＋x₀]＝f(x－x₀)·f(x₀)＝0.這與已知x>0時(shí)，f(x)>1矛盾．

所以，對任意x∈R，均有f(x)>0成立．