Question

如圖，在直三棱柱中，，，分別為，

的中點(diǎn)，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形．

（1）求證：平面；

(2)求二面角的余弦值．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：在直三棱柱中，

   平面，又平面，  所以．

 

 

 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052521252020708488/SYS201205252127004382220171_DA.files/image007.png">，為中點(diǎn)， 所以．又，

所以平面．

又平面，所以．

因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052521252020708488/SYS201205252127004382220171_DA.files/image013.png">為正方形，，分別為，的中點(diǎn)，

所以△≌△，．

所以．

所以．又，

所以平面．                ……………………6

（2）解：如圖，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系．  則．

 

 

  由（Ⅱ）知平面，所以為平面的一個(gè)法向量．

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

，．

由可得

令，則．

所以．從而．

因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052521252020708488/SYS201205252127004382220171_DA.files/image042.png">為銳角，

所以二面角的余弦值為．

【解析】略