Question

函數(shù)y=x+

4

x

（x≠0）的值域是

（-∞，-4]∪[4，+∞）

．

Answer 1

分析：由于y′=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x -2)(x+2)

x2

，利用y′＞0，可求其單調(diào)遞增區(qū)間，y′＜0，可求其單調(diào)遞減區(qū)間，從而可求其值域．

解答：解；∵由y′=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x -2)(x+2)

x2

=0得：x=2或x=-2，
∴當(dāng)x＞2或x＜2時(shí)，y′＞0，即函數(shù)y=x+

4

x

（x≠0）在（-∞，-2），（2，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)-2＜x＜0或0＜x＜2時(shí)，y′＜0，即函數(shù)y=x+

4

x

（x≠0）在（-2，0），（0，2）上單調(diào)遞減；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）_極大值=f（-2）=-4，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）_極小值=f（2）=4，
∴函數(shù)y=x+

4

x

（x≠0）的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞）．
故答案為：（-∞，-4]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域，通過求導(dǎo)討論該函數(shù)的單調(diào)性與極值是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，當(dāng)然，也可以用基本不等式解決，屬于中檔題．