Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-2．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）求出數列{b_n}的通項，由于該數列的通項是一個等差數列與等比數列的積構成的新數列，利用錯位相減法求出數列的和．

解答： 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-2a_n-1+2，有a_n=2a_n-1，
所以數列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列，有an=2n．（6分）
（2）由（1）知bn=log22n=n，有an•bn=n•2nTn=1×2+2×22+…+n×2n①
①×2，2Tn=1×22+2×23+…+n×2n+1②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
整理得Tn=(n-1)•2n+1+2．（12分）

點評：本題考查數列通項公式及其前n項和公式的求法，其中涉及錯位相減法在數列求和問題中的應用．