Question

【題目】設(shè)橢圓 + =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ， 右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，已知|AB|= |F1F2|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1 ， 經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與該圓相切，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2（c，0），

由|AB|= |F1F2|，可得 ，化為a2+b2=3c2．

又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．

∴e= ．

（2）解：由（1）可得b2=c2．因此橢圓方程為 ．

設(shè)P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得 =（x0+c，y0）， =（c，c）．

∵ ，

∴ =c（x0+c）+cy0=0，

∴x0+y0+c=0，

∵點(diǎn)P在橢圓上，∴ ．

聯(lián)立 ，化為 =0，

∵x0≠0，∴ ，

代入x0+y0+c=0，可得 ．

∴P ．

設(shè)圓心為T（x1，y1），則 =﹣ ， = ．

∴T ，

∴圓的半徑r= = ．

設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y=kx．

∵直線l與圓相切，

∴ ，

整理得k2﹣8k+1=0，解得 ．

∴直線l的斜率為 ．

【解析】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2（c，0），由|AB|= |F1F2|．可得 ，再利用b2=a2﹣c2 ， e= 即可得出．（2）由（1）可得b2=c2 ． 可設(shè)橢圓方程為 ，設(shè)P（x0 ， y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得 ， ．利用圓的性質(zhì)可得 ，于是 =0，得到x0+y0+c=0，由于點(diǎn)P在橢圓上，可得 ．聯(lián)立可得 =0，解得P ．設(shè)圓心為T（x1 ， y1），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得T ，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的半徑r．設(shè)直線l的方程為：y=kx．利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．