Question

（1）已知：a，b，x均是正數(shù)，且a＞b，求證：1＜

a+x

b+x

＜

a

b

；
（2）當a，b，x均是正數(shù)，且a＜b，對真分數(shù)

a

b

，給出類似上小題的結論，并予以證明；
（3）證明：△ABC中，

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

＜2（可直接應用第（1）、（2）小題結論）
（4）自己設計一道可直接應用第（1）、（2）小題結論的不等式證明題．

Answer 1

（1）∵a+x＞b+x＞0，∴1＜

a+x

b+x

，
又

a+x

b+x

-

a

b

=

x(b-a)

b(b+x)

＜0，∴1＜

a+x

b+x

＜

a

b

.（3分）
（2）∵a＜b，∴

b

a

＞1，應用第（1）小題結論，
得1＜

b+x

a+x

＜

b

a

，取倒數(shù)，得

b

a

＜

b+x

a+x

＜1.（6分）
（3）由正弦定理，原題?△ABC中，求證：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2.
證明：由（2）的結論得，a，b，c＞0，
且

a

b+c

，

b

c+a

，

c

a+b

均小于1，
∴

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

=2.（10分）
（4）如得出：四邊形ABCD中，求證：

a

b+c+d

+

b

c+d+a

+

c

a+b+d

+

d

a+b+c

＜2.
如得出：凸n邊形A₁A₂A₃┅A_n中，邊長依次為a₁，a₂，，a_n，求證：

a1

a2+a3++an

+

a2

a1+a3++an

++

an

a1+a2++an-1

＜2.
如得出：{a_n}為各項為正數(shù)的等差數(shù)列，（d≠0），
求證：

a1

a2

+

a2

a3

++

a2n-1

a2n

＜

a2

a3

+

a4

a5

++

a2n

a2n+1

．（14分）