Question

4．已知，橢圓C：$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞n＞0）短軸長是1，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過F （-$\sqrt{3}$，0）的直線交橢圓C于點M，N，G（$\sqrt{3}$，0），求△GMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可設(shè)橢圓的半焦距為c，從而根據(jù)條件可以得到$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{1}{2}}\\{\frac{c}{m}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{m}^{2}={c}^{2}+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，這樣即可解出m=1，從而可以寫出橢圓C的方程為y²+4x²=1；
（Ⅱ）可以看出直線斜率存在且不為0，從而可設(shè)直線方程為$x=ay-\sqrt{3}$，帶入橢圓方程消去x便可得到$（1+4{a}^{2}）{y}^{2}-8\sqrt{3}ay+11=0$，根據(jù)韋達定理及弦長公式便可求出|MN|=$\frac{2\sqrt{1+{a}^{2}}•\sqrt{4{a}^{2}-11}}{1+4{a}^{2}}$，而由點到直線的距離公式可以求出G到直線距離，即△GMN的高d=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，從而可以表示出△GMN的面積$S=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4{a}^{2}-11}+\frac{12}{\sqrt{4{a}^{2}-11}}}$，這樣根據(jù)基本不等式即可得出△GMN面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的半焦距為c，$n=\frac{1}{2}$；
∵橢圓C的離心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{m}$，${m}^{2}={c}^{2}+\frac{1}{4}$；
∴m=1；
∴橢圓C的方程是${y}^{2}+\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}=1$，即y²+4x²=1；
（Ⅱ）顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為：$x=ay-\sqrt{3}$；
聯(lián)立：$\left\{\begin{array}{l}{x=ay-\sqrt{3}}\\{{y}^{2}+4{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（1+4{a}^{2}）{y}^{2}-8\sqrt{3}ay+11=0$；
∴△=192a²-44（1+4a²）=16a²-44＞0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）；
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{8\sqrt{3}a}{1+4{a}^{2}}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{11}{1+4{a}^{2}}$，∴$|MN|=\sqrt{1+{a}^{2}}•\sqrt{\frac{192{a}^{2}}{（1+4{a}^{2}）^{2}}-\frac{44}{1+4{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{1+{a}^{2}}•\sqrt{4{a}^{2}-11}}{1+4{a}^{2}}$；
△GMN的高即為點G到直線$l：x-ay+\sqrt{3}=0$的距離$d=\frac{|\sqrt{3}-a•0+\sqrt{3}|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$；
∴△GMN的面積為$S=\frac{1}{2}|MN|d=\frac{2\sqrt{3}•\sqrt{4{a}^{2}-11}}{1+4{a}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}•\sqrt{4{a}^{2}-11}}{（4{a}^{2}-11）+12}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{4{a}^{2}-11}+\frac{12}{\sqrt{4{a}^{2}-11}}}$；
∵$\sqrt{4{a}^{2}-11}+\frac{12}{\sqrt{4{a}^{2}-11}}≥2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$；
當且僅當$\sqrt{4{a}^{2}-11}=\frac{12}{\sqrt{4{a}^{2}-11}}$，即$a=±\frac{\sqrt{23}}{2}$時，等號成立；
∴S的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，即△GMN的面積的最大值為$\frac{1}{2}$．

點評 考查橢圓的標準方程，橢圓的短軸、焦距的概念，以及橢圓的離心率的計算公式，直線的點斜式方程，韋達定理，弦長公式，以及點到直線的距離公式，基本不等式用于求最值，在應(yīng)用基本不等式時，需判斷等號能否取到．