Question

已知F是橢圓5x²+9y²=45的右焦點，P為該橢圓上的動點，A（2，1）是一定點．
（1）求的最小值，并求相應點P的坐標；
（2）求|PA|+|PF|的最大值與最小值；
（3）過點F作傾斜角為60°的直線交橢圓于M、N兩點，求|MN|；
（4）求過點A且以A為中點的弦所在的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：=，進而根據(jù)橢圓的第二定義可得：過A作右準線的垂線，交與B點，則的最小值為|AB|，即可得到答案．
（2）根據(jù)橢圓的第一定義：|PA|+|PF₁|=2a+|PA|-|PF₂|，結合圖形可得||PA|-|PF₂||≤|AF₂|=1⇒-1≤|PA|-|PF₂|≤1，即可解決問題．
（3）設出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程利用由弦長公式可得答案．
（4）設出直線方程代入橢圓的方程進行化簡，再結合根與系數(shù)的關系可得答案．
解答：解：（1）由題意可得：e=
所以 =，
∴根據(jù)橢圓的第二定義：過A作右準線的垂線，交與B點，則的最小值為|AB|，
∵|AB|=
∴，的最小值，并且P（）．
（2）根據(jù)橢圓的第一定義：|PA|+|PF₁|=2a+|PA|-|PF₂|
如圖所示：因為||PA|-|PF₂||≤|AF₂|=1⇒-1≤|PA|-|PF₂|≤1，
所以5＜6+|PA|-|PF₂|＜7，即5＜|PA|+|PF₁|＜7，
所以PA|+|PF|的最大值與最小值分別為5，7．
（3）由題意可得：直線方程為，
聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：32x²-108x+63=0，
所以_x1+x2=，x₁•x₂=，
由弦長公式可得：|MN|==．
（4）由題意得，斜率存在，設為 k，則直線l的方程為 y-1=k（x-2），
代入橢圓的方程化簡得：（5+9k²）x²+18k（1-2k）x+9（1-2k）²-45=0，
因為A為弦的中點，
所以x₁+x₂=4，即=4，解得k=，
所以以A為中點的弦所在的直線方程為10x+9y-29=0．
點評：本題主要考查了橢圓的應用以及橢圓中線段的最值問題，求解時要充分利用橢圓的定義可使得解答簡潔，并且還考查了弦長問題與弦中點問題．