Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為 $\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（2，$\frac{π}{2}$），求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直線l的極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)Q（$\sqrt{3}cosα$，sinα），利用點(diǎn)到直線的距離公式能求出Q到直線l的距離的最小值．

解答 解：（1）∵直線l的方程為x-y+4=0，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴ρcosθ-ρsinθ+4=0，
整理，得ρ（sinθ-cosθ）=4，
∴直線l的極坐標(biāo)方程為$ρsin（θ-\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}$．
（2）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則Q（$\sqrt{3}cosα$，sinα），
點(diǎn)Q到直線l：x-y+4=0的距離：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{2π}{3}）+4|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)sin（$α+\frac{2π}{3}$）=-1時(shí)，Q到直線l的距離的最小值是$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的極坐標(biāo)方程的求法，考查點(diǎn)到直線的最小距離的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．