Question

甲、乙兩位同學(xué)學(xué)完導(dǎo)數(shù)知識(shí)后，對(duì)三次多項(xiàng)式函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0，a、b、c、d∈R）進(jìn)行了研究．在一次交流時(shí)．提出了如下結(jié)果．
①若a＞0時(shí)，則f（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間；若a＜0時(shí)，則f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間；
②f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是1個(gè)，或2個(gè)，或3個(gè)；
③有極值的充要條件是b²≥3ac；
④圖象上總存在不同的兩點(diǎn)A，B，在A，B兩點(diǎn)處的切線互相平行．
請(qǐng)你給予評(píng)價(jià)：
（1）上述結(jié)果是正確的

 

（填上所有正確的序號(hào)）；
（2）上述結(jié)果若有錯(cuò)誤的，填上錯(cuò)誤的序號(hào)并更正：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對(duì)f（x）=ax³+bx²+cx+d考查，對(duì)4個(gè)結(jié)果依次分析判斷．

解答： 解：①若a＞0時(shí)，x→-∞時(shí)，f（x）→-∞；x→+∞時(shí)，f（x）→+∞；則f（x）存在單調(diào)遞增區(qū)間；
若a＜0時(shí)，x→-∞時(shí)，f（x）→+∞；x→+∞時(shí)，f（x）→-∞；則f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間；故正確．
②f（x）=x³時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；f（x）=（x-1）x²時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；f（x）=（x-2）（x-1）x時(shí)，f（x）有3個(gè)零點(diǎn)；故正確．
③f′（x）=3ax²+2bx+c，若f（x）有極值，則△=（2b）²-4×（3a）×c＞0，即b²＞3ac；故不正確．
④f′（x）=3ax²+2bx+c知，當(dāng)x₁+x₂=-

2b

3a

時(shí)，f′（x₁）=f′（x₂），則在x₁、x₂處f（x）的切線的斜率相等，則切線互相平行．故正確．
故答案為：（1）①②④；（2）③，b²＞3ac．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．