Question

已知A、B、C三點共線，則對空間任一點O，存在三個不為零的實數(shù)λ、m、n使λ

OA

+m

OB

+n

OC

=

0

，那么λ+m+n的值等于______．

Answer 1

∵A、B、C三點共線，∴存在實數(shù)k，使得

AB

=k

BC

∵

AB

=

OB

-

OA

，

BC

=

OC

-

OB

∴

OB

-

OA

=k（

OC

-

OB

），化簡整理得：

OA

-（k+1）

OB

+k

OC

=

O

∵λ

OA

+m

OB

+n

OC

=

O

，
∴①當k=-1時，比較系數(shù)得：m=0且λ=-n，所以λ+m+n=0
②當k≠-1時，可得

λ

1

=

m

-k-1

=

n

k

，得m=（-k-1）λ，n=kλ
由此可得：λ+m+n=λ+（-k-1）λ+kλ=0
綜上所述，λ+m+n的值為0
故答案為：0