Question

已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上為增函數，則稱f（x）為“一階比增函數”；若y=

f(x)

x2

在（0，+∞）上為增函數，則稱f（x）為“二階比增函數”．
我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為Ω₁，所有“二階比增函數”組成的集合記為Ω₂．
（1）已知函數f（x）=x³-2hx²-hx，若f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，求實數h的取值范圍；
（2）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω₁且f（x）的部分函數值由下表給出，求證：d（2d+t-4）＞0；

x	a	b	c	a+b+c
f（x）	d	d	t	4

（3）定義集合ψ={f（x）|f（x）∈Ω₂，且存在常數k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，請問：是否存在常數M，使得?f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）根據：f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，可得y=

f(x)

x

=x²-2hx-h，利用二次函數的單調性可得-

-2h

2

=h≤0；由y=

f(x)

x2

=x-2h-

h

x

，y′=x+

h

x2

，對h分類討論可得：當h≥0，此時f（x）∈Ω₂；當h＜0時，y′=

x3+h

x2

，函數

f(x)

x2

在x∈（0，+∞）有極值點，可得f（x）∉Ω₂．即可得出．
（2）由f（x）∈Ω₁，取0＜x₁＜x₂＜x₁+x₂，可得

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

．由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一階比增函數”可得

d

a

＜

d

b

＜

t

c

＜

4

a+b+c

，再利用不等式的性質即可得出．
（3）根據“二階比增函數”先證明f（x）≤0對x∈（0，+∞）成立．再證明f（x）=0在（0，+∞）上無解．即可得出．

解答： （1）解：y=

f(x)

x

=x²-2hx-h，若f（x）∈Ω₁，則h≤0；
y=

f(x)

x2

=x-2h-

h

x

，y′=x+

h

x2

，當h≥0，x＞0時，y′＞0，此時f（x）∈Ω₂，不符合題意，舍去；
當h＜0時，y′=

x3+h

x2

，此時函數

f(x)

x2

在x∈（0，+∞）有極值點，因此f（x）∉Ω₂．
綜上可得：當h＜0時，f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂．
因此h的取值范圍是（-∞，0）．
（2）證明：由f（x）∈Ω₁，若取0＜x₁＜x₂，
則

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

．
由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，
∵0＜a＜b＜c＜a+b+c，
∴

d

a

＜

d

b

＜

t

c

＜

4

a+b+c

，
∴d＜0，d＜

4a

a+b+c

，d＜

4b

a+b+c

，t＜

4a

a+b+c

，
∴2d+t＜4，
∴d（2d+t-4）＞0．
（Ⅲ）∵集合合ψ={f（x）|f（x）∈Ω₂，且存在常數k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，
∴存在f（x）∈ψ，存在常數k，使得 f（x）＜k 對x∈（0，+∞）成立．
我們先證明f（x）≤0對x∈（0，+∞）成立．
假設存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，
記

f(x0)

x 2 0

=m＞0
∵f（x）是二階比增函數，即

f(x)

x2

是增函數．
∴當x＞x₀時，

f(x)

x2

＞

f(x0)

x 2 0

=m＞0，
∴f（x）＞mx²，
∴一定可以找到一個x₁＞x₀，使得f（x₁）＞mx₁²＞k，
這與f（x）＜k 對x∈（0，+∞）成立矛盾．
即f（x）≤0對x∈（0，+∞）成立．
∴存在f（x）∈ψ，f（x）≤0對x∈（0，+∞）成立．
下面我們證明f（x）=0在（0，+∞）上無解．
假設存在x₂＞0，使得f（x₂）=0，
∵f（x）是二階增函數，即

f(x)

x2

是增函數．
一定存在x₃＞x₂＞0，使

f(x3)

x 2 3

＞

f(x2)

x 2 2

=0，這與上面證明的結果矛盾．
∴f（x）=0在（0，+∞）上無解．
綜上，我們得到存在f（x）∈ψ，f（x）＜0對x∈（0，+∞）成立．
∴存在常數M≥0，使得存在f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立．
又令f（x）=-

1

x

（x＞0），則f（x）＜0對x∈（0，+∞）成立，
又有

f(x)

x2

=-

1

x3

在（0，+∞）上是增函數，
∴f（x）∈ψ，
而任取常數k＜0，總可以找到一個x_n＞0，使得x＞x_n時，有f（x）＞k．
∴M的最小值 為0．

點評：本題考查了函數的單調性、導數的幾何意義，掌握導數法在確定函數單調性和最值時的答題步驟是解答的關鍵，考查了推理能力與計算能力，本題難度較大．