Question

10．設函數(shù)$f（x）={log_2}（4x-{x^2}-3）$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域； 
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）求f（x）的最大值，并求出取得最大值時的x的值．

Answer 1

分析 （1）解4x-x²-3＞0可解函數(shù)f（x）的定義域；
（2）由二次函數(shù)和復合函數(shù)單調(diào)性可得；
（3）由（2）可知，當x=2時，函數(shù)取最大值，代值計算可得．

解答 解：（1）由4x-x²-3＞0可解得1＜x＜3，
∴函數(shù)f（x）的定義域為（1，3）；
（2）二次函數(shù)t=4x-x²-3在（1，2）單調(diào)遞增，在（2，3）單調(diào)遞減，
由復合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（1，2），減區(qū)間為（2，3）；
（3）由（2）可知，當x=2時，函數(shù)取最大值，
∴函數(shù)的最大值為f（x）_max=f（2）=0，此時x=2．

點評 本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，涉及復合函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎題．