Question

已知圓錐曲線E：

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=4c（c為正常數(shù)，過原點(diǎn)O的直線與曲線E交于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，B是曲線E上不同于P，A的點(diǎn)，直線PB，AB的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂≠0．
（Ⅰ）若P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

3

2

），求圓錐曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求k₁•k₂的值；
（Ⅲ）若PD⊥x軸于點(diǎn)D，D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），存在μ∈R使

AD

=μ

BD

，且直線AB與直線l：x=

4c2

m

交于點(diǎn)M，記直線PA、PM的斜率分別為k₃，k₄，問是否存在常數(shù)λ，使k₁+k₃=λk₄，若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由圓錐曲線E滿足：

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=4c（c為正常數(shù)）．可得：點(diǎn)E的軌跡是以（±c，0）為焦點(diǎn)，4c為長軸長的橢圓，可得方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1．把（1，

3

2

）代入解出即可．
（II）設(shè)P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A（-x₁，-y₁）．代入橢圓方程相減可得

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

3

4

．利用斜率計算公式可得k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

即可得出．
（III）設(shè)P（x₁，y₁），則A（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直線x=

4c2

m

（m=x₁）．可得k2=

y1

2x1

，k₃=

y1

x1

．利用k₁k₂=-

3

4

．可得k₁=

-3x1

2y1

．利用A，D，M三點(diǎn)共線可得y_M=

y1

2x1

(

4c2

x1

-x1)．得到k₄=

yM-y1

4c2 x1 -x1

=

y1

2x1

-

y1x1

4c2- x 2 1

．假設(shè)存在常數(shù)λ，使k₁+k₃=λk₄，可得

y1

x1

-

3x1

2y1

=λ(

y1

2x1

-

x1y1

4c2- x 2 1

)，由于4

y

2 1

=12c2-3

x

2 1

，代入上式可得λ為常數(shù)．

解答： 解：（I）由圓錐曲線E滿足：

(x-c)2+y2

+

(x+c)2+y2

=4c（c為正常數(shù)）．
∴點(diǎn)E的軌跡是以（±c，0）為焦點(diǎn)，4c為長軸長的橢圓，
可得方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1．
把（1，

3

2

）代入可得

1

4c2

+

3

4c2

=1，解得c²=1，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（II）設(shè)P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A（-x₁，-y₁）．
∴

x 2 1

4c2

+

y 2 1

3c2

=1，

x 2 2

4c2

+

y 2 2

3c2

=1，
∴

y 2 2 - y 2 1

3c2

+

x 2 2 - x 2 1

4c2

=0，
∴

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

3

4

．
∴k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

3

4

．

（III）設(shè)P（x₁，y₁），則A（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直線x=

4c2

m

（m=x₁）．
k2=

y1

2x1

，k₃=

y1

x1

．
∵k₁k₂=-

3

4

．
∴k₁=

-3x1

2y1

．
∵

yM

4c2 x1 -x1

=

y2

2x1

，
∴y_M=

y1

2x1

(

4c2

x1

-x1)．
∴k₄=

yM-y1

4c2 x1 -x1

=

y1

2x1

-

y1x1

4c2- x 2 1

．
假設(shè)存在常數(shù)λ，使k₁+k₃=λk₄，
則

y1

x1

-

3x1

2y1

=λ(

y1

2x1

-

x1y1

4c2- x 2 1

)，
化為λ=

2 y 2 1 -3 x 2 1

y 2 1

×

4c2- x 2 1

4c2-3 x 2 1

，
∵4

y

2 1

=12c2-3

x

2 1

，
代入上式可得λ=

24c2-18 x 2 1

12c2-3 x 2 1

×

4c2- x 2 1

4c2-3 x 2 1

=2，
∴存在常數(shù)λ=2，使k₁+k₃=λk₄成立．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、斜率計算公式，考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．