Question

【題目】已知橢圓C： 的右頂點(diǎn)A（2，0），且過點(diǎn)
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（1，0）且斜率為k1（k1≠0）的直線l于橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線x=3于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線PB的斜率為k2 ， 求證：k1k2為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得a=2， + =1，
a2﹣b2=c2 ，
解得b=1，
即有橢圓方程為 +y2=1；
（Ⅱ）證明：設(shè)過點(diǎn)B（1，0）的直線l方程為：y=k1（x﹣1），
由 ，
可得：（4k12+1）x2﹣8k12x+4k12﹣4=0，
因?yàn)辄c(diǎn)B（1，0）在橢圓內(nèi)，所以直線l和橢圓都相交，
即△＞0恒成立．
設(shè)點(diǎn)E（x1 ， y1），F(xiàn)（x2 ， y2），
則x1+x2= ，x1x2= ．
因?yàn)橹本�AE的方程為：y= （x﹣2），
直線AF的方程為：y= （x﹣2），
令x=3，得M（3， ），N（3， ），
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)（3， （ + ））．
直線PB的斜率為k2= = （ + ）
= =
= =﹣ ．
所以k1k2為定值﹣ ．
【解析】（Ⅰ）由題意可得a=2，代入點(diǎn) ，解方程可得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)B（1，0）的直線l方程為：y=k（x﹣1），由 ，可得（4k12+1）x2﹣8k12x+4k12﹣4=0，由已知條件利用韋達(dá)定理推導(dǎo)出直線PB的斜率k2=﹣ ，由此能證明kk′為定值﹣ ．