Question

已知定義域為R的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時，f（x）=|x-

a

|-

a

（a≥0），且對x∈R，恒有f（x+a）≥f（x），則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[0，2]
• B、{0}∪[2，+∞）
• C、[0，

  1

  16

  ]
• D、{0}∪[16，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)x≥0時，f（x）=|x-

a

|-

a

=

x-2 a ，x≥ a -x，0≤x＜ a

，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：當(dāng)x＜0時可得f（x）=-f（-x）=

x+2 a ，x≤- a -x，- a ≤x＜0

．f（x）的圖象如圖所示：當(dāng)x＜0時，函數(shù)的最大值為

a

，由于對x∈R，恒有
f（x+a）≥f（x），則a≥3

a

-（-

a

），解得即可．

解答： 解：當(dāng)x≥0時，f（x）=|x-

a

|-

a

=

x-2 a ，x≥ a -x，0≤x＜ a

，
設(shè)x＜0．則-x＞0．定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=

x+2 a ，x≤- a -x，- a ≤x＜0

．
f（x）的圖象如圖所示：
當(dāng)x＜0時，函數(shù)的最大值為

a

，
∵對x∈R，恒有f（x+a）≥f（x），
則a≥3

a

-（-

a

），
解得a=0或a≥16．
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于較難題．