Question

已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)在上的最小值；

（2）若函數(shù)與的圖像恰有一個公共點，求實數(shù)a的值；

（3）若函數(shù)有兩個不同的極值點，且，求實數(shù)a的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時最小值，當(dāng)時最小值（2）3（3）

【解析】

試題分析：（1）令，得，①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。此時最小值為；②當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時最小值為。

（2）在上有且僅有僅有一個根，即在上有且僅有僅有一個根，令，則，上遞增，所以。

（3），由題意知有兩個不同的實數(shù)根，等價于有兩個不同的實數(shù)根，等價于直線與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點。

，所以當(dāng)時，存在，且的值隨著的增大而增大。

而當(dāng)時，則有，兩式相減得代入，解得此時，所以實數(shù)的取值范圍為

考點：函數(shù)單調(diào)性最值

點評：第一小題求最值需對參數(shù)分情況討論從而確定最值點的位置，第二小題將方程的根的情況轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值得判定，這種轉(zhuǎn)化方法包括將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題都是函數(shù)題目中經(jīng)常用到的思路，須加以重視