Question

（本小題滿分12分）

    設(shè)函數(shù)

   （1）試用含a的代數(shù)式表示b，

   （2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

   （3）令a=-1，設(shè)函數(shù)f（x）在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M，N的公共點(diǎn)。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）當(dāng)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為；

（3）略

【解析】解法一：（I）依題意，得

由

   （II）由（I）得

故

令

①當(dāng)

當(dāng)的變化情況如下表：

	+	—	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)，

單調(diào)減區(qū)間為

②由恒成立，

且僅在故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R

③當(dāng)，

同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

單調(diào)減區(qū)間為

綜上：

當(dāng)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為；

當(dāng)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當(dāng)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為；

   （III）當(dāng)

由（II）得的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（—1，3）

所以函數(shù)處取得極值。

故

所以直線MN的方程為

由

令

易得的圖像在（0，2）內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故在（0，2）內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段MN與曲線有異于M，N的公共點(diǎn)。