Question

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求的值；

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

（3）是否存在實數(shù)，對于任意，不等式恒成立，若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）為上的減函數(shù)；

（3）

【解析】

（1）因為為上的奇函數(shù)，所以，代入可求；

（2）由（1）可得，利用定義，任取，只要說明的符號即可判斷；

（3）由不等式恒成立，及是上的奇函數(shù)且是上的減函數(shù)，可得對恒成立．由題意可得，，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)先求出的最大值，即可求的范圍．

（1）因為為上的奇函數(shù)，所以，

，

；

（2）為上的減函數(shù)．

任取，

，

，，，

，

，所以為上的減函數(shù)．

（3）若不等式恒成立，

，又為上的奇函數(shù)，

所以

又為上的減函數(shù)，所以對恒成立．

即對恒成立．

，，

設(shè)，其對稱軸為，

時是增函數(shù)，

所以，

所以．