Question

已知b＞，c＞0，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像相切．

（Ⅰ）設(shè)，求；

（Ⅱ）設(shè)(其中x＞)在上是增函數(shù)，求c的最小值；

（Ⅲ）是否存在常數(shù)c，使得函數(shù)在內(nèi)有極值點？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）【方法一】由， 依題設(shè)可知，． ∵b＞，c＞0， ∴，即． 【方法二】依題設(shè)可知，即， ∴為切點橫坐標(biāo)， 于是，化簡得． 同法一得． （Ⅱ）依題設(shè)， ∴． ∵在上是增函數(shù)， ∴≥0在上恒成立， 又x＞，c＞0，∴上式等價于≥0在上恒成立， 即≤，而由（Ⅰ）可知≤， ∴≥． 又函數(shù)在上的最大值為2， ∴≥2，解得c≥4，即c的最小值為4． （Ⅲ）由， 可得． 令，依題設(shè)欲使函數(shù)在內(nèi)有極值點， 則須滿足＞0， 亦即＞0，解得＜或＞， 又c＞0，∴0＜c＜或c＞． 故存在常數(shù)，使得函數(shù)在內(nèi)有極值點．（注：若△≥0，則應(yīng)扣1分．）