Question

如圖，在體積為1的三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA₁＝1，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．

   （1）求證：CA₁⊥C₁P；

   （2）當(dāng)AP為何值時(shí)，二面角C₁－PB₁－A₁的大小為？

Answer 1

解：（1）證明：∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥A             B．

又∵AB⊥AC，

∴以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立直角坐標(biāo)系．

又∵VABC－A₁B₁C₁＝AB×AC×AA₁＝1，∴AB＝2．（2分）

設(shè)AP＝m，則P（0，m,0），而C₁（1,0,1），C（1,0,0），A₁（0,0,1），

∴＝（－1,0,1），＝（－1，m，－1），

∴·＝（－1）×（－1）＋0×m＋1×（－1）＝0，

∴CA₁⊥C₁P．（6分）

   （2）設(shè)平面C₁PB₁的一個(gè)法向量n＝（x，y，z），則，即．

令y＝1，則n＝（2,1，m－2），（9分）

而平面A₁B₁P的一個(gè)法向量＝（1,0,0），

依題意可知cos＝＝＝，

∴m＝2＋（舍去）或m＝2－．

∴當(dāng)AP＝2－時(shí)，二面角C₁－PB₁－A₁的大小為．（12分）