Question

 如圖，三棱錐P ABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D，E分別為PB，PC中點(diǎn)

（1）若PA＝2，求直線AE與PB所成角的余弦值；

（2）若PA，求證：平面ADE⊥平面PBC

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2） 

【解析】

試題分析：(1)首先建立空間直角坐標(biāo)系，給出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求解；(2) 利用空間向量求解平面的法向量，然后根據(jù)法向量互相垂直可證明

試題解析：（1）如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接BF，則BF⊥AC 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A且與FB平行的直線為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，

從而＝(，1， 2)， ＝(0，1，1)  

設(shè)直線AE與PB所成角為θ，

則cosθ＝||＝

即直線AE與PB所成角的余弦值為                        5分

（2）如上圖，則

A(0，0，0)，B(，1，0)， C(0，2，0)，P(0，0，)，E(0，1，)，

設(shè)平面PBC的法向量為，則

令，則，所以

同理可求平面ADE的法向量

所以，即

于是平面ADE⊥平面PBC

考點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系、空間向量、線線角以及面面垂直的證明