Question

【題目】已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.

（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)，證明時， .

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，又,解方程組可得.再求導(dǎo)函數(shù)零點，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，（2）先化簡條件得，再等價轉(zhuǎn)化不等式：要證，需證，即證，最后構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性： 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即得,從而結(jié)論得證.

試題解析：（1）由題得，函數(shù)的定義域為， ，

因為曲線在點處的切線方程為，

所以解得.

令，得，

當(dāng)時， ， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ， 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）得， .

由，得，即.

要證，需證，即證，

設(shè)，則要證，等價于證： .

令，則，

∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增， ,

即，故.