Question

設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上且異于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若直線與的斜率之積為，求橢圓的離心率；

（2）對(duì)于由(1)得到的橢圓，過點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求直線的斜率.

 

Answer 1

【答案】

(1) .

(2) 的斜率.

【解析】試題分析：(1)先求出A，B的坐標(biāo)，然后利用與的斜率之積為,建立關(guān)于a的方程，從而求出a值，進(jìn)一步可求出橢圓的離心率.

（2）設(shè)直線 的斜率為 , 直線的方程為,則有，

設(shè)，由于三點(diǎn)共線，且,

再把此條件坐標(biāo)可知,從而得到或,

再利用點(diǎn)P在橢圓上，可建立關(guān)于k的方程求出k的值.

解：(1) 由已知,設(shè).              …………1分

則直線的斜率,

直線的斜率.

由,得.                            …………2分

     …………3分

,得,                                        …………4分

.                                              …………5分

橢圓的離心率.                                        …………6分

(2) 由題意知直線的斜率存在.                                  …………7分

設(shè)直線 的斜率為 , 直線的方程為                 …………8分

則有，

設(shè)，由于三點(diǎn)共線，且

根據(jù)題意，得     …………9分

解得或             …………11分

又點(diǎn)在橢圓上，又由（1）知橢圓的方程為

所以…………①

或 …………②

由①解得，即,

此時(shí)點(diǎn)與橢圓左端點(diǎn)重合, 舍去;            …………12分

由②解得，即                             …………13分

直線直線的斜率.                              …………14分

考點(diǎn)：本小題主要考查直線斜率、橢圓的方程、離心率、向量的運(yùn)算等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、方程的思想方法，考查綜合運(yùn)用能力以及運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：兩點(diǎn)的斜率公式;另外解本小題的關(guān)鍵是條件的使用，實(shí)際上此條件是用k表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上，建立關(guān)于k的方程求出k值.