Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，短軸長(zhǎng)為4.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)直線(xiàn)x=2與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn),A、B是橢圓O上位于直線(xiàn)PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AB的斜率為.

①求四邊形APBQ面積的最大值；

②設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為，直線(xiàn)PB的斜率為，判斷+的值是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）故當(dāng)，的值為常數(shù)0.

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為 .      1分

由已知b= 離心率 ,得

所以，橢圓C的方程為.    4分

（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為 ，，則， 5分

設(shè)AB(),直線(xiàn)AB的方程為，代人

得：.

由△>0,解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得        7分

四邊形APBQ的面積

故當(dāng)  …②由題意知，直線(xiàn)PA的斜率，直線(xiàn)PB的斜率

則   10分

=

=，由①知

可得

所以的值為常數(shù)0.      13分

考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。