Question

8．已知中心在原點，焦點F₁、F₂在x軸上的雙曲線經(jīng)過點P（4，2），△PF₁F₂的內切圓與x軸相切于點Q（2$\sqrt{2}$，0），則雙曲線的實軸長為（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內切圓的性質結合雙曲線的定義，求出2a，即可得到結論．

解答 解：中心在原點，焦點F₁、F₂在x軸上的雙曲線為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
作出對應的圖象如圖：設三個切點分別為A，B，C，
∵△PF₁F₂的內切圓與x軸相切于點Q（2$\sqrt{2}$，0），
∴|F₁Q|=|F₁C|=c+2$\sqrt{2}$，∴|F₂Q|=|F₂B|=c-2$\sqrt{2}$，
∴由雙曲線的定義得||F₁P|-|F₂P|=|F₁C|-|F₂B|=c+2$\sqrt{2}$-（c-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$=2a，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線的實軸長的計算，根據(jù)三角形內切圓的性質求出2a是解決本題的關鍵．注意利用數(shù)形結合進行求解．