Question

16．如圖，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BAD=45°，E，F(xiàn)，G分別是AB，BC，CD的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{AG}$方向上的投影為$\frac{7}{10}\sqrt{4+\frac{1}{2}A{D^2}}$，則$\frac{{|\overrightarrow{AB}|}}{{|\overrightarrow{CD}|}}$=（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題意建立平面直角坐標(biāo)系，從而利用平面向量的坐標(biāo)表示化簡(jiǎn)即可．

解答 解：建立如右圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

∵，∠BAD=45°，∴設(shè)D（x，x），（x＞0），
則C（4-x，x），G（2，x），E（2，0），F(xiàn)（$\frac{8-x}{2}$，$\frac{x}{2}$），
故$\overrightarrow{EF}$=（2-$\frac{x}{2}$，$\frac{x}{2}$），
所以$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{AG}$方向上的投影為
$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AG}}{|\overrightarrow{AG}|}$=$\frac{2（2-\frac{x}{2}）+x\frac{x}{2}}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{7}{10}\sqrt{4+\frac{1}{2}A{D^2}}$，
即$\frac{2（2-\frac{x}{2}）+x\frac{x}{2}}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$=$\frac{7}{10}$$\sqrt{4+\frac{1}{2}（{x}^{2}+{x}^{2}）}$，
解得，x=1；
故CD=4-2=2，
故$\frac{{|\overrightarrow{AB}|}}{{|\overrightarrow{CD}|}}$=2，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的投影等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了坐標(biāo)法、方程思想的應(yīng)用．