Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓： ，長軸的右端點與拋物線： 的焦點重合，且橢圓的離心率是．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過作直線交拋物線于， 兩點，過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點，求面積的最小值，以及取到最小值時直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）面積的最小值為9， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知求出拋物線的焦點坐標即得橢圓中的，再由離心率可求得，從而得值，得標準方程；

（Ⅱ）本題考查圓錐曲線中的三角形面積問題，解題方法是設(shè)直線方程為，設(shè)，把直線方程代入拋物線方程，化為的一元二次方程，由韋達定理得，由弦長公式得，同樣過與直線垂直的直線方程為，同樣代入橢圓方程，利用韋達定理得，其中， 是點的橫坐標，于是可得，這樣就可用表示出的面積， ，接著可設(shè)，用換元法把表示為的函數(shù)，利用導數(shù)的知識可求得最大值.

試題解析：

（Ⅰ）∵橢圓： ，長軸的右端點與拋物線： 的焦點重合，

∴，

又∵橢圓的離心率是，∴， ，

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）過點的直線的方程設(shè)為，設(shè)， ，

聯(lián)立得，

∴， ，

∴．

過且與直線垂直的直線設(shè)為，

聯(lián)立得，

∴，故，

∴，

面積．

令，則， ，

令，則，即時， 面積最小，

即當時， 面積的最小值為9，

此時直線的方程為．