Question

（09年湖北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考理）（13分）

已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，數(shù)列是等差數(shù)列，令集合，，．將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為．

（1）若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，數(shù)列的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，且，．

（i）求證：元素2不可能是數(shù)列中的第項(xiàng)（）

              （ii）證明：當(dāng)時，（）．

Answer 1

解析：（1）若，因?yàn)?，6，7 ，則5，6，7， 由此可見，等差數(shù)列的公差為1，而3是數(shù)列中的項(xiàng)， 所以3只可能是數(shù)列中的第1，2，3項(xiàng)，

若，則， 若，則，若，則； … 4分

（寫出一個或兩個通項(xiàng)公式得2分，全部寫出得4分）

（2） () 若2是數(shù)列的第項(xiàng)（），則，

即數(shù)列的公差，

所以，1，2，4<，所以1，2，4在數(shù)列的

前8項(xiàng)中，由于，這樣，，，…，以及1，2，4共9項(xiàng)，

它們均小于8，即數(shù)列的前9項(xiàng)均小于8，這與矛盾       8分

 ()首先對元素2進(jìn)行分類討論：

 ①若2是數(shù)列的第2項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得

，這顯然不可能；

②若2是數(shù)列的第3項(xiàng)，由的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，得，因?yàn)閿?shù)列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的， 所以，則，因此數(shù)列的前5項(xiàng)分別為1，，2，，4，這樣， 則數(shù)列的前9項(xiàng)分別為1，，2，，4，，，，8

上述數(shù)列符合要求；                                           12分

又由①知元素2不可能是數(shù)列中的第k項(xiàng)（）.綜上所述，

又當(dāng)時， ，因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090518/20090518110001004.gif' width=31>是公差為的等差數(shù)列，

  所以，所以

                                                          13分