Question

4．已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，∠AOB=150°，點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部且∠AOC=30°，設(shè)$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，則$\frac{m}{n}$=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 可畫(huà)出圖形，由$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$可得到$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}=m{\overrightarrow{OA}}^{2}+n\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}\\{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+n{\overrightarrow{OB}}^{2}}\end{array}\right.$，根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得到$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{OC}|•\frac{\sqrt{3}}{2}=m-\sqrt{3}n}&{①}\\{-|\overrightarrow{OC}|=-\sqrt{3}m+4n}&{②}\end{array}\right.$，從而$\frac{①}{②}$便可得出關(guān)于m，n的等式，從而可以求出$\frac{m}{n}$．

解答 解：如圖，

由$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$的兩邊分別乘以$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$得：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}=m{\overrightarrow{OA}}^{2}+n\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}\\{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}=m\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+n{\overrightarrow{OB}}^{2}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{OC}|•\frac{\sqrt{3}}{2}=m-\sqrt{3}n}&{①}\\{-|\overrightarrow{OC}|=-\sqrt{3}m+4n}&{②}\end{array}\right.$；
∴$\frac{①}{②}$得：$\frac{m-\sqrt{3}n}{-\sqrt{3}m+4n}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$m=2\sqrt{3}n$；
∴$\frac{m}{n}=2\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量夾角的概念，向量的數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式．