Question

(本小題滿分16分)已知橢圓中心為，右頂點(diǎn)為，過定點(diǎn)作直線交橢圓于、兩點(diǎn).

（1）若直線與軸垂直，求三角形面積的最大值；

（2）若，直線的斜率為，求證：；

（3）在軸上，是否存在一點(diǎn)，使直線和的斜率的乘積為非零常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

（1）把代入可得：，     （2分）

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)    （4分）

（2）由得，，（6分）

所以

          （9分）

（3）（理）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為：，

由消去整理得 

則     ①          又      ②

若存在定點(diǎn)符合題意，且

          （11分）

把①、②式代入上式整理得

(其中都是常數(shù))

要使得上式對(duì)變量恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

，解得                           （13分）

當(dāng)時(shí)，定點(diǎn)就是橢圓的右頂點(diǎn)，此時(shí)，；   

當(dāng)時(shí)，定點(diǎn)就是橢圓的左頂點(diǎn)，此時(shí)，；  （15分）

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，由，解得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為

，可驗(yàn)證：或

所以，存在一點(diǎn)（或），使直線和的斜率的乘積為

非零常數(shù)（或）.                      （16分）

【解析】略