Question

19．已知函數f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函數，且a＞0．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）若b＞0，試說明$\frac{1}{a+b}$＜ln$\frac{a+b}$＜$\frac{a}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數的導函數，由f′（x）≥0，且a＞0，得ax-1≥0，即x$≥\frac{1}{a}$，再由x的范圍求得a的范圍；
（Ⅱ）b＞0，由（Ⅰ）知a≥1，可得$\frac{a+b}$＞1，由f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函數，可得f（$\frac{a+b}$）＞f（1），化簡得到$\frac{1}{a+b}$＜$ln\frac{a+b}$；
由ln$\frac{a+b}$＜$\frac{a}$?$ln\frac{a+b}-\frac{a}=ln（1+\frac{a}）-\frac{a}$＜0．構造輔助函數g（x）=ln（1+x）-x（x∈[0，+∞）），利用導數判斷函數g（x）在[0，+∞）上為減函數．由g（$\frac{a}$）＜g（0）得ln$\frac{a+b}$＜$\frac{a}$．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$-\frac{1}{a{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{a{x}^{2}}$，
由f′（x）≥0，且a＞0，得ax-1≥0，即x$≥\frac{1}{a}$，
∵x∈（1，+∞），∴$\frac{1}{a}≤1$，即a≥1；
（Ⅱ）∵b＞0，由（Ⅰ）知，a≥1．
∴$\frac{a+b}$＞1，又f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函數，
∴f（$\frac{a+b}$）＞f（1），即$\frac{1-\frac{a+b}}{a•\frac{a+b}}+ln\frac{a+b}$＞0．
化簡得：$\frac{1}{a+b}$＜$ln\frac{a+b}$；
ln$\frac{a+b}$＜$\frac{a}$?$ln\frac{a+b}-\frac{a}=ln（1+\frac{a}）-\frac{a}$＜0．
令g（x）=ln（1+x）-x（x∈[0，+∞）），則g′（x）=$\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}$＜0．
∴函數g（x）在[0，+∞）上為減函數．
∴g（$\frac{a}$）=ln（1+$\frac{a}$）=ln$\frac{a+b}$-$\frac{a}$＜g（0）=0．
綜上，$\frac{1}{a+b}$＜ln$\frac{a+b}$＜$\frac{a}$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查數學轉化思想方法，考查邏輯思維能力與推理運算能力，屬難題．