Question

22.設(shè)直線(xiàn)l與橢圓+=1相交于A、B兩點(diǎn),l又與雙曲線(xiàn)x²－y²=1相交于C、D兩點(diǎn),C、D三等分線(xiàn)段AB求直線(xiàn)l的方程.

Answer 1

22. 本小題主要考查直線(xiàn)、橢圓、雙曲線(xiàn)及定比分點(diǎn)等知識(shí)和思維能力、運(yùn)算能力.

解法一：首先討論l不與x軸垂直時(shí)的情況,設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+b,如圖所示,l與橢圓、雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為：

A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）、C（x₃,y₃）、D（x₄,y₄），

依題意有=,=3,

由得（16+25k²）x²+50kbx+（25b²－400）=0,     ①

∴x₁+x₂=－.

由得（1－k²）x²－2bkx－（b²+1）=0.                 ②

若k=±1,則l與雙曲線(xiàn)最多只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意.故k≠±1.

∴x₃+x₄=.

由=x₃－x₁=x₂－x₄x₁+x₂=x₃+x₄.

－

=bk=0k=0或b=0.

（1）當(dāng)k=0時(shí),由①得x_1、2=±、由②得x_3、4=±.

由=3x₂－x₁=3（x₄－x₃）.

即=6

b=±.

故l的方程為y=±.

（2）當(dāng)b=0時(shí),由①得x_1、2=±,

由②得x_3、4=±.

由=3x₂－x₁=3（x₄－x₃）.即=

k=±.

故l的方程為y=±x.

再討論l與x軸垂直的情況.

設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=c,分別代入橢圓和雙曲線(xiàn)方程可解得

y_1、2=±.　y_3、4=±.

由||=3|||y₂－y₁|=3|y₄－y₃|.

即=6c=±.

故l的方程為x=±.

綜上所述,直線(xiàn)l的方程是：y=±、y=±x和x=±.

解法二：設(shè)l與橢圓、雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為：

A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)、D(x₄,y₄),

則有

由i的兩個(gè)式子相減及j的兩個(gè)式子相減，得：

因C、D是AB的三等分點(diǎn)，

故CD的中點(diǎn)（x₀,y₀）與AB的中點(diǎn)重合，且.

于是x₀==,y₀==,

x₂－x₁=3(x₄－x₃),

y₂－y₁=3(y₄－y₃).

因此

若x₀y₀≠0,則x₂=x₁x₄=x₃y₄=y₃y₂=y₁.

因A、B、C、D互異，故x_i≠x_j,y_i≠y_j,這里i,j=1,2,3,4且i≠j.

①÷②得16=－25,矛盾.

所以x₀y₀=0.

（1）當(dāng)x₀＝0，y₀≠0時(shí)，由②得y₄=y₃≠0，這時(shí)l平行x軸.

設(shè)l的方程為y=b,分別代入橢圓、雙曲線(xiàn)方程得：

x_1、2＝±,x_3、4＝±.

∵x₂－x₁=3(x₄－x₃)=6b=±.

故l的方程為：y=±.

（2）當(dāng)y₀=0，x₀≠0時(shí)，由②得x₄=x₃≠0，這時(shí)l平行y軸.

設(shè)l的方程為x=c，分別代入橢圓、雙曲線(xiàn)方程得：

y_1、2＝±，y_3、4=±.

∵y₂－y₁=3(y₄－y₃)=6c=±.

故l的方程為：x=±.（3）當(dāng)x₀＝0，y₀=0時(shí)，這時(shí)l通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與x軸垂直.

設(shè)l的方程為y=kx，分別代入橢圓、雙曲線(xiàn)方程得：

x_1、2=±,　x_3、4=±.

∵x₂－x₁=3(x₄－x₃)k=±.

故l的方程為：y=±x.

綜上所述，直線(xiàn)l的方程是：y=±x、y=±和x=±.