Question

函數(shù)f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

，則f（x）的不連續(xù)點(diǎn)個數(shù)有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：對于x進(jìn)行分類討論：當(dāng)-1＜x＜1時，可以知道n→∞時，xⁿ→0，當(dāng)x=1時，f（x）=1，當(dāng)x=-1時，f（x）不存在，當(dāng)x＜-1或x＞1時，分別求出函數(shù)f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

的值，最后得出f（x）的不連續(xù)點(diǎn)的個數(shù)．

解答：解：當(dāng)-1＜x＜1時，可以知道n→∞時，xⁿ→0，
f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

=0，
當(dāng)x=1時，f（x）=1，
當(dāng)x=-1時，f（x）不存在，
當(dāng)x＜-1或x＞1時，分子分母同時除以xⁿ
f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

=

lim

n→∞

1

1 xn +1

=1，
所以x=-1是這個函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)，x=1也是跳躍間斷點(diǎn)
∴函數(shù)f(x)=

lim

n→∞

xn

1+xn

，則f（x）的不連續(xù)點(diǎn)個數(shù)有兩個，
故選B．

點(diǎn)評：考查對不連續(xù)點(diǎn)含義的理解、函數(shù)的連續(xù)性、極限及其運(yùn)算，函數(shù)定義域的另外一種表述．屬于基礎(chǔ)題．