Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且2S_n=a_n²+a_n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c為實(shí)數(shù)，如果對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式

an+2

-

an

＞

c

an+2

恒成立，求證：c的最大值為1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n與s_n的關(guān)系和題意得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由a_n，＞0的a_n-a_n-1-1=0，判斷出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（2）由（1）和分子有理化化簡(jiǎn)

an+2

-

an

＞

c

an+2

，得到c＜

2

1+ 1- 2 n+2

對(duì)對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，再求出

2

1+ 1- 2 n+2

的范圍，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得，2S_n=a_n²+a_n，且a_n，＞0，①
當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=a₁²+a₁，解得a₁=1或a₁=0（舍去），
當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，②
①-②得，2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1，
化簡(jiǎn)得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又a_n+a_n-1，＞0，所以a_n-a_n-1-1=0，即a_n-a_n-1=1，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、公差的等差數(shù)列，
則a_n=1+（n-1）=n；
證明：（2）由（1）得，

an+2

-

an

＞

c

an+2

為：

n+2

-

n

＞

c

n+2

，
即c＜

n+2

（

n+2

-

n

）=

n+2 ( n+2 - n )( n+2 + n )

n+2 + n

=

2 n+2

n+2 + n

=

2

1+ n n+2

=

2

1+ 1- 2 n+2

，
因?yàn)?span id="3rptrxh" class="MathJye">

1- 2 n+2

＜1，所以

2

1+ 1- 2 n+2

＞1，
因?yàn)椴坏仁?span id="rlthdbx" class="MathJye">

an+2

-

an

＞

c

an+2

對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，
即c＜

2

1+ 1- 2 n+2

對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，
所以c≤1，則c的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列a_n與s_n的關(guān)系，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，不等式恒成立求參數(shù)范圍轉(zhuǎn)化為求范圍問(wèn)題，考查探索、分析及論證的能力．