Question

當α∈時，求證：sin α<α<tan α.

Answer 1

證明　如圖所示，在直角坐標系中作出單位圓，α的終邊與單位圓交于P，α的正弦線、正切線為有向線段MP，AT，則MP＝sin α，AT＝tan α.

因為S_△AOP＝OA·MP＝sin α，

S_扇形AOP＝αOA²＝α，

S_△AOT＝OA·AT＝tan α，又S_△AOP<S_扇形AOP<S_△AOT，

所以sin α<α<tan α，即sin α<α<tan α.