Question

已知函數(shù)f（x）=x-

2

x

-3lnax，其中a≠0．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）假定函數(shù)f（x）在點P處的切線為l，如果l與函數(shù)f（x）的圖象除P外再無其它公共點，則稱l是f（x）的一條“單純切線”，我們稱P為“單純切點”．設f（x）的“單純切點”P為（x₀，f（x₀）），當a＞0時，求x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系，分類討論得出單調區(qū)間；
（2）由f′(x)=

(x-1)(x-2)

x2

得f′(x0)=

(x0-1)(x0-2)

x02

，過（x₀，f（x₀））的切線是l：y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀）．構造g（x）=f（x）-L（x）=f（x）-[f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）]，故g′(x)=f′(x)-f′(x0)=

(x-1)(x-2)

x2

-

(x0-1)(x0-2)

x02

=

(3x0-2)x2-3x02x+2x02

x2x02

．由 g（x₀）=0，依題意，x₀應是g（x）的唯一零點．故對x₀分類討論得出結論．

解答： 解：（1）當a＞0時，f（x）的定義域是（0，+∞），由f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

(x-1)(x-2)

x2

，…（1分）
令f'（x）＞0得x＞2或x＜1，f'（x）＜0得1＜x＜2，所以增區(qū)間是（0，1）、（2，+∞），減區(qū)間是（1，2）． 　　…（4分）
當a＜0時，則x＜0，f′(x)=1+

2

x2

-

3

x

=

(x-1)(x-2)

x2

＞0，所f（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．　　　　…（6分）
（2）由f′(x)=

(x-1)(x-2)

x2

得f′(x0)=

(x0-1)(x0-2)

x02

，過（x₀，f（x₀））的切線是l：y=f'（x₀）（x-x₀）+f（x₀）．　　…（7分）
構造g（x）=f（x）-L（x）=f（x）-[f′（x₀）（x-x₀）+f（x₀）]，…（8分）
顯然 g（x₀）=0，依題意，x₀應是g（x）的唯一零點．g′(x)=f′(x)-f′(x0)=

(x-1)(x-2)

x2

-

(x0-1)(x0-2)

x02

=

(3x0-2)x2-3x02x+2x02

x2x02

．
①如果x0=

2

3

，則g′(x)=

-3x+2

x2

，由g′(x)=0⇒x=

2

3

，易看出g（x）在(0，

2

3

]為減函數(shù)，在[

2

3

，+∞)上為增函數(shù)，故x=

2

3

是唯一零點．…（9分）
②如果0＜x0＜

2

3

，則有g′(x)=

(3x0-2)(x-x0)(x- 2x0 3x0-2 )

x2x02

，由g′（x）=0得x=x₀，
（x=

2x0

3x0-2

＜0舍去），g（x）在（0，x₀）為減函數(shù)，在（x₀，+∞）上為增函數(shù)，故x=x₀是唯一零點．　　　　　　　　…（10分）
③如果x0＞

2

3

，則由g′(x)=

(3x0-2)(x-x0)(x- 2x0 3x0-2 )

x2x02

=0得x=x0或x=

2x0

3x0-2

．
當

2

3

＜x0＜

4

3

時，x0＞

2x0

3x0-2

，g（x）在[

2x0

3x0-2

，x0]為減函數(shù)，有g(

2x0

3x0-2

)＞g(x0)=0，
而x→0時g（x）→-∞，g（x）在(-∞，

2x0

3x0-2

)有零點，不合要求； 
當x0＞

4

3

時，x0＜

2x0

3x0-2

，g（x）在[x0，

2x0

3x0-2

]為減函數(shù)，有g(

2x0

3x0-2

)＜g(x0)=0，
同理得g（x）在(

2x0

3x0-2

，+∞)有零點，不合要求；　　　                                      …（12分）
當x0=

4

3

時，x0=

2x0

3x0-2

，則g′(x)=

(3x0-2)(x-x0)2

x2x02

≥0，所以g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，x=x₀是唯一零點．
綜上所述，x₀的取值范圍是(0，

2

3

]∪{

4

3

}．　　　　　　                                    　…（13分）

點評：考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值以及函數(shù)的零點問題；
考查分類討論思想，知識的轉化與劃歸思想等．