Question

14．已知奇函數(shù)f（x）的定義域為R，若f（x+1）為偶函數(shù)，且f（1）=1，則f（2016）+f（2015）=（　�。�

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）和f（x+1）的奇偶性便可得到f（x）=f（x-1+1）=f（x-4），從而得出f（x）是周期為4的周期函數(shù)，而可以求出f（2）=0，從而可以得出f（2016）+f（2015）=f（2）-f（1）=-1．

解答 解：∵f（x）為R上的奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，
∴f（x）=f（x-1+1）=f（-x+2）=-f（x-2）=f（x-4）；
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
∴f（2016）+f（2015）=f（2+503×4）+f（-1+504×4）=f（2）-f（1）=f（2）-1；
f（-1+1）=f（1+1）=0；
即f（2）=0；
∴f（2014）+f（2015）=0-1=-1．
故選：B．

點評 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，以及周期函數(shù)的定義，清楚偶函數(shù)的定義：f（-x）=f（x），是自變量換上-x后函數(shù)值不變．