Question

已知點(diǎn)H(－3，0)，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，點(diǎn)M在直線PQ上，且滿足·＝0，＝． (1) 當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動時，求點(diǎn)M的軌跡C (2) 過點(diǎn)T(－1，0)作直線l與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，若在x軸上存在一點(diǎn)E(x。，0)，使得△ABE為等邊三角形，求x0的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，由=－，得P(0，－)，Q(，0)． 　　由·=0得(3，－)·(x，y)=0，得y2=4x．由點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，得x＞0． 　　所以，動點(diǎn)M的軌跡C是以(0，0)為頂點(diǎn)，(1，0)為焦點(diǎn)的拋物線(除去原點(diǎn))．
(2)	設(shè)直線l：y=k(x＋1)，其中k≠0，代入y2=4x得k2x2＋2(k2－2)x十k2=0．�、� 　　設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1、x2是方程①的兩個實(shí)根． 　　所以x1＋x2=－，x1·x2=1． 　　則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，線段AB的垂直平分線方程為y－=－(x－)． 　　令y=0，解得x0=＋1，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為(＋1，0)． 　　因?yàn)椤鰽BE為正三角形，所以點(diǎn)E(＋1，0)到直線AB的距離等于｜AB｜， 　　而｜AB｜= 　　　　　　=·， 　　所以=． 　　解得k=±，所以x0=．