【題目】已知函數(shù)
．
(1)當
時，求證：
；
(2)討論函數(shù)
在R上的零點個數(shù)，并求出相對應(yīng)的a的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；（2）
時，函數(shù)
在
上沒有零點；當
時，函數(shù)在上有一個零點；當
時，函數(shù)在上有兩個零點.
【解析】
（1）構(gòu)造函數(shù)
，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最小值，證明最小值大于
.（2）先利用導數(shù)得到的最小值，然后分類討論，根據(jù)零點存在定理，得到每種情況下的零點情況.
（1）當
時，
，
令
，則
.
令
，得
.
當
時，
，
單調(diào)遞減；當
時，
，單調(diào)遞增.
所以是的極小值點，也是最小值點，
即
故當時，
成立.
（2） 
，由
，得
.
所以當
時，
，單調(diào)遞減；當
時，
，單調(diào)遞增.
所以是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，
即
.
當
，即時，在上沒有零點.
當
，即時，在上只有一個零點.
當
，即時，因為
，
所以在
內(nèi)只有一個零點；
由（1）得
，令
，得
，
所以
，于是在
內(nèi)有一個零點；
因此，當時，在上有兩個零點.
綜上，時，函數(shù)在上沒有零點；
當時，函數(shù)在上有一個零點；
當時，函數(shù)在上有兩個零點.
千里馬走向假期期末仿真試卷寒假系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，曲線
在
處的切線交
軸于點
．
（1）求
的值；
（2）若對于
內(nèi)的任意兩個數(shù)
，
，當
時，
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知在平面直角坐標系
中，動點
與兩定點
連線的斜率之積為
，記點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）若過點
的直線
與曲線交于
兩點，曲線上是否存在點
使得四邊形
為平行四邊形？若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設(shè)數(shù)列
是等差數(shù)列，數(shù)列
是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且
.
（1）求數(shù)列，的通項公式；
（2）設(shè)
，
，
，試比較
與
的大小.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線
的兩個焦點為
，
，并且經(jīng)過點
.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點
的直線
與雙曲線有且僅有一個公共點，求直線的方程.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，
為
的導函數(shù)．
（1）若
，求
的值；
（2）討論的單調(diào)性；
（3）若
恰有一個零點，求的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】若函數(shù)
在
處取得極大值或極小值，則稱
為函數(shù)的極值點．設(shè)函數(shù)
．
（1）若函數(shù)
在
上無極值點，求
的取值范圍；
（2）求證：對任意實數(shù)，在函數(shù)的圖象上總存在兩條切線相互平行；
（3）當
時，若函數(shù)的圖象上存在的兩條平行切線之間的距離為4，問；這樣的平行切線共有幾組？請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】為了適應(yīng)新高考改革，某校組織了一次新高考質(zhì)量測評（總分100分），在成績統(tǒng)計分析中，抽取12名學生的成績以莖葉圖形式表示如圖，學校規(guī)定測試成績低于87分的為“未達標”，分數(shù)不低于87分的為“達標”.
（1）求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)；
（2）在這12名學生中從測試成績介于80~90之間的學生中任選2人，求至少有1人“達標”的概率.
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