Question

若函數(shù)在上為增函數(shù)（為常數(shù)），則稱為區(qū)間上的“一階比增函數(shù)”，為的一階比增區(qū)間.

(1) 若是上的“一階比增函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；

(2) 若 (，為常數(shù))，且有唯一的零點，求的“一階比增區(qū)間”；

(3)若是上的“一階比增函數(shù)”，求證：，

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)

【解析】

試題分析：

(1)根據(jù)新定義可得在區(qū)間上單調(diào)遞增,即導函數(shù)在區(qū)間上恒成立,則有,再利用分離參數(shù)法即可求的a的取值范圍.

(2)對求導數(shù),求單調(diào)區(qū)間,可以得到函數(shù)有最小值,又根據(jù)函數(shù) 只有一個零點,從而得到,解出的值為1,再根據(jù)的“一階比增區(qū)間”的定義,則的單調(diào)增區(qū)間即為的“一階比增區(qū)間”.

(3) 根據(jù)是上的“一階比增函數(shù)”的定義,可得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則由函數(shù)單調(diào)遞增的定義可得到,同理有,兩不等式化解相加整理即可得到.

試題解析：

(1)由題得, 在區(qū)間上為增函數(shù),則在區(qū)間上恒成立,即,綜上a的取值范圍為.

(2)由題得,(),則,當時,因為,所以, .因為,所以函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,即 .又因為有唯一的零點,所以(使解得帶入驗證),故 的單調(diào)增區(qū)間為.即的“一階比增區(qū)間”為.

(3)由題得,因為函數(shù) 為上的“一階比增函數(shù)”,所以在區(qū)間上的增函數(shù),又因為,所以

……,同理, ……,則+得

,所以，.

考點：單調(diào)性定義 不等式 導數(shù) 新概念