Question

P為橢圓C：上一點，A、B為圓O：x²+y²=b²上的兩個不同的點，直線AB分別交x軸，y軸于M、N兩點且，，O為坐標原點．
（1）若橢圓的準線為，并且，求橢圓C的方程．
（2）橢圓C上是否存在滿足的點P？若存在，求出存在時a，b滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據條件求出PA與PB，進而得到AB的方程，求出M、N兩點的坐標，代入，可以得到關于a，b的等式；再結合橢圓的準線為，即可求出a，b的值，進而求出橢圓C的方程．
（2）先假設存在P（x，y）滿足要求，得到OBPA為正方形，即，轉化為關于點P（x，y）的等式；再結合P（x，y）在橢圓上，即可求出點P（x，y）的坐標所滿足的等式，再通過討論即可得到結論．
解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
易求得PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，
則x₁x+y₁y=b²，x₂x+y₂y=b²
于是AB：xx+yy=b²（xy≠0），
可求得

再由條件，以及a²-b²=c²易得a=5，b=4，
于是所求橢圓為，
（2）設存在P（x，y）滿足要求，則當且僅當OBPA為正方形．
，即x²+y²=2b²…（1），
又因為：
解（1）（2）得，
所以   （�。┊�時，存在P（x，y）滿足要求；
（ⅱ）當時，不存在P（x，y）滿足要求．
點評：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題．圓與圓錐曲線同屬于幾何內容，都可以用解析法研究（都是二次曲線）．所以要特別關注圓與圓錐曲線在一些題目中的交匯、綜合．